miércoles, 26 de noviembre de 2014

7.9 Densidad de energía magnética

7.9 Densidad de energía magnética.

Ya que Al es el volumen del solenoide, la energía almacenada por unidad de volumen en un campo magnético está dada por:

Aunque la ecuación anterior se dedujo para el caso específico de un solenoide, ésta es valida para cualquier región del espacio en donde exista un campo magnético. Obsérvese que es similar en forma a la ecuación de la energía por unidad de volumen almacenada por un campo eléctrico. En ambos casos la densidad de energía es proporcional al cuadrado de la intensidad del campo.
La inducción magnética o densidad de flujo magnético, cuyo símbolo es B, es el flujo magnético por unidad de área de una sección normal a la dirección del flujo, y en algunos textos modernos recibe el nombre de intensidad de campo magnético, ya que es el campo real.

La unidad de la densidad en el Sistema Internacional de Unidades es el tesla.

Está dado por:

donde B es la densidad del flujo magnético generado por una carga que se mueve a una velocidad v a una distancia r de la carga, y u_r es el vector unitario que une la carga con el punto donde se mide B (el punto r).

o bien:

donde B es la densidad del flujo magnético generado por un conductor por el cual pasa una corriente I, a una distancia r.

7.8 Energía asociada con un campo magnético

La energía necesaria para crear un campo magnético puede calcularse en dos formas: en función de las corrientes en las espiras de alambre o como una integral de la densidad de energía sobre el campo entero.

Si no se registran pérdidas, la energía utilizada para crear el campo magnético puede recuperarse cuando sea apagado, de modo que representa la energía de él.

La potencia de las perdidas por histéresis es proporcionada a la superficie de la espira de las histéresis y a las frecuencias.

El concepto de energía de la auto inductancia indica que puede representarse como una suma de la energía asociada a campo extremo a la región con la corriente(inductancia externa), y de la relacionada con el campo dentro de la región de corrientes (inductancia interna).

En las espiras den corriente en el vacío, siempre es posible calcular la fuerza magnética, pero a veces es difícil. Podría ser más sencillo el método basado en la energía utilizada en tal caso.

En particular, si hay materiales magnéticos, puede calcularse mediante fórmulas basadas de conversión de la energía en el campo magnético.

7.10 Aplicaciones

7.10 Aplicación

martes, 25 de noviembre de 2014

7.3 Trayectoria de las cargas en movimiento dentro de un campo magnético.

Trayectoria de las cargas en movimiento dentro de un campo magnético.

La fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada que se mueve en un campo magnético es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. De esta propiedad se sigue que el trabajo realizado por la fuerza magnética es cero ya que el desplazamiento de la carga es siempre perpendicular a la fuerza magnética. Por lo tanto, un campo magnético estático cambia la dirección de la velocidad pero no afecta la rapidez o la energía cinética de la partícula cargada.

7.2 Campo magnético terrestre.

Campo magnético terrestre

Es un fenómeno natural originado por los movimientos de metales líquidos en el núcleo del planeta y está presente en la Tierra y en otros cuerpos celestes como el Sol.

La Tierra tiene un campo magnético con polos Norte y Sur. El campo magnético de la Tierra alcanza hasta 36 000 millas en el espacio; El campo magnético de la Tierra está rodeado por una región llamada la magnetosfera. La magnetosfera previene que la mayoría de las partículas del Sol, que se trasladan con el viento solar, choquen contra la Tierra.

El campo magnético de la Tierra es similar al de un imán de barra inclinado 11 grados respecto al eje de rotación de la Tierra. El problema con esa semejanza es que la temperatura Curie del hierro es de 700 grados aproximadamente. El núcleo de la Tierra está mas caliente que esa temperatura y por tanto no es magnético.

Los campos magnéticos rodean a las corrientes eléctricas, de modo que se supone que esas corrientes eléctricas circulantes, en el núcleo fundido de la Tierra, son el origen del campo magnético. Un bucle de corriente genera un campo similar al de la Tierra. La magnitud del campo magnético medido en la superficie de la Tierra es alrededor de medio Gauss. Las líneas de fuerza entran en la Tierra por el hemisferio norte. La magnitud sobre la superficie de la Tierra varía en el rango de 0,3 a 0,6 Gauss.

El campo magnético de la Tierra se atribuye a un efecto dinamo de circulación de corriente eléctrica, pero su dirección no es constante. Muestras de rocas de diferentes edades en lugares similares tienen diferentes direcciones de magnetización permanente. Se han informado de evidencias de 171 reversiones del campo magnético, durante los últimos 71 millones años.

Aunque los detalles del efecto dinamo no se conocen, la rotación de la Tierra desempeña un papel en la generación de las corrientes que se suponen que son la fuente del campo magnético. La nave espacial Mariner 2 descubrió que Venus no tiene un campo magnético, aunque su contenido de un núcleo de hierro debe ser similar al de la Tierra. El período de rotación de Venus de 243 días de la Tierra, es demasiado lento para producir el efecto dinamo.

La interacción del campo magnético terrestre con las partículas del viento solar crea las condiciones para los fenómenos de auroras cerca de los polos.

El polo norte de la aguja de una brújula es un polo norte magnético. Es atraido por el polo norte geográfico que es un polo sur magnético (polos opuestos se atraen).

El campo magnético puede ser representado en cualquier punto por un vector tridimensional (ver figura). Una forma común de medir su dirección es usar una brújula para determinar la dirección del norte magnético. Su ángulo con respecto al norte geográfico se denomina declinación. Apuntando hacia el norte magnético el ángulo que el campo mantiene con la horizontal es la inclinación. La intensidad (F) del campo es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el imán. También se puede usar una representación con coordenadas XYZ en las que la X es la dirección de los paralelos (con sentido este), la Y es la dirección meridiana (sentido hacia el polo norte geográfico) y la Z es la dirección vertical (con el sentido hacia abajo apuntando al centro de la Tierra)

El Efecto Dinamo

La simple pregunta "¿como obtiene la Tierra su campo magnético?" no tiene una respuesta simple. Parece claro que la generación del campo magnético está relacionada con la rotación de la Tierra, ya que Venus con una similar composición de núcleo de hierro, pero con un período de rotación de 243 días terrestres, no tiene un campo magnético que pueda medirse. Ciertamente, parece plausible que depende de la rotación del hierro metálico líquido que compone una gran parte del interior de ambos planetas. El modelo del conductor giratorio nos lleva al "efecto dinamo" o "geodinamo", evocando la imagen de un generador eléctrico.

La convección mueve el fluido del núcleo exterior y lo hace circular con relación a la Tierra. Esto significa que un material conductor de electricidad se esta moviendo con respecto al campo magnético de la Tierra. Si por alguna interacción como por ejemplo la fricción entre placas, se obtiene una carga eléctrica, entonces se produce un bucle de corriente efectiva. El campo magnético de un bucle de corriente, podría sostener el campo magnético de la Tierra, de tipo de dipolo magnético. Las modelaciones a gran escala en ordenadores, están consiguiendo una simulación realista de tal tipo de geodinamo.

Magnetosfera

Buena parte de las partículas cargadas provenientes del viento solar son atrapadas en los cinturones de Van Allen. Un pequeño número de partículas del viento solar consigue llegar, siguiendo una línea del campo magnético hasta la alta atmósfera y la ionosfera en las zonas aurorales. El único momento en el que el viento solar es observable desde la Tierra es cuando es suficientemente fuerte como para producir fenómenos como la aurora y las tormentas geomagnéticas. Las auroras de cierta magnitud en cuanto a brillo calientan notoriamente la ionosfera, causando que su plasma se expanda hacia la magnetosfera, incrementando el tamaño de la geosfera de plasma, y causando el escape de masa de la atmósfera en el viento solar. Las tormentas geomagnéticas ocurren cuando la presión de los plasmas contenidos dentro de la magnetosfera es suficientemente grande como para hincharse y en consecuencia distorsionar el campo geomagnético.

Ejercicios

domingo, 23 de noviembre de 2014

7.6 Ley de Ampere

La ley de Biot (1774-1882) y Savart (1791-1841) expresa la relación existente entre la intensidad, I, de una corriente eléctrica rectilínea y estacionaria (de valor constante) y el campo magnético, B, que dicha corriente crea a una cierta distancia, r, de la misma:

Ampère (1775-1836), inspirándose en esta expresión, estableció en 1826 una relación general entre estas dos magnitudes, sea cual sea la forma del conductor por el que circula la corriente de intensidad constante, I

Indica que la circulación del vector campo magnético, B, a lo largo de una línea cerrada es igual al producto de la permeabilidad magnética, µ, por la intensidad eléctrica resultante creadora de dicho campo (suma algebraica de las intensidades de corriente que atraviesan la superficie limitada por esa línea cerrada).

Seguidamente se muestra la utilidad de la ley de Ampere para obtener el campo magnético producido por diversos tipos de corriente.

Corriente rectilínea indefinida.

En la figura adjunta se representa una corriente rectilínea de intensidad constante, I. Alrededor de ella se ha dibujado una circunferencia de radio, r, que es el camino cerrado elegido para hacer circular al vector B.

Al tratarse del primer ejemplo, aplicamos la ley de Ampere, calculando por separado cada término de la ecuación.

Circulación del vector campo magnético: B, es constante a lo largo de todo el camino elegido: la circunferencia de longitud, L=2·pi·r.

µ por la suma de intensidades: La corriente rectilínea de intensidad, I, atraviesa la superficie circular delimitada por la circunferencia de radio, r.

Por tanto, se obtiene:

Solenoide

Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide.

Se representa un corte de un pedazo del solenoide. Los puntos representan las corrientes que se dirigen hacia nosotros y las aspas las que se dirigen hacia el interior de la hoja, de modo que cada espira, recorrida por la corriente de intensidad, I, da una media vuelta saliendo por un punto y volviendo a entrar por el aspa correspondiente.

Para aplicar la ley de Ampere tomamos un camino cerrado ABCD que es atravesado por varias espiras. Como el campo magnético, B, es constante en el segmento BC y nulo en los otros cuatro segmentos, se obtiene:

NBC/LBC es el número de espiras por unidad de longitud considerada y, por tanto, coincide con N/L (siendo N el número de espiras de todo el solenoide y L su longitud total). Por tanto, bajo las condiciones establecidas, el campo, B, en cualquier punto interior del solenoide es:

Toroide

Si curvamos un solenoide y pegamos sus extremos obtenemos un anillo o toroide. Las líneas de campo magnético, que en el solenoide son segmentos rectos, se transforman en circunferencias concéntricas en el toroide. El campo magnético es tangente en cada punto a dichas circunferencias.

Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, cuyo centro está en el eje del toroide, y situada en su plano meridiano. En este caso, el campo magnético B está completamente confinado en el interior del toroide, es tangente a la circunferencia de radio, r, y tiene el mismo módulo en todos los puntos de dicha circunferencia. Por tanto, aplicando la ley de Ampere se obtiene:

Problemas:

1. La simetría del campo magnético en este problema es la siguiente: puesto que para puntos alejados de los extremos podemos considerar al cable como infinito, entonces $\vec{B}$ se ``enrolla'' en circunferencias alrededor del cable coaxial, dependiendo su intensidad en un punto P sólo de la distancia que separa a dicho punto del eje del cable. Esto nos permite utilizar la Ley de Ampère, integrando $\oint_C\vec{B}\cdot d\vec{l}$ a lo largo de una circunferencia C de radio r que esté puesta perpendicularmente al cable y con centro en el cable. De esta forma, y por lo dicho para la simetría de $\vec{B}$ para este problema, podemos escribir

$\begin{displaymath} \oint_C\vec{B}\cdot d\vec{l}=B\oint_C dl=B2\pi r , \end{displaymath}$

y aplicando la Ley de Ampère a este caso

$\begin{displaymath} B=\frac{1}{2\pi r}\mu_0 I_{\scriptscriptstyle {\rm dentro de} C} . \end{displaymath}$

En el caso en que estemos integrando sobre puntos entre el centro y la corteza, la corriente que queda dentro del círculo C es la intensidad

que circula por el cable del centro. Para el caso de que los puntos del camino de integración C estén fuera del cable, la intensidad que atraviesa el área de C es cero, ya que tenemos la

que circula por el cable del centro menos la intensidad

que circula por la corteza.

2. La simetría del campo magnético $\vec{B}$ es la misma que en el problema anterior y por tanto podemos seguir utilizando el resultado anterior $B=\frac{1}{2\pi r}\mu_0 I_{\scriptscriptstyle {\rm dentro de} C}$ . Para

ningún punto en el interior de C es atravesado por corriente y por tanto $I_{\scriptscriptstyle {\rm dentro de} C}=0$ . Para

la fracción de corriente que atraviesa el interior de C es igual a $\frac{\pi(r^2-a^2)}{\pi(b^2-a^2)}$ y por tanto $I_{\scriptscriptstyle {\rm dentro de} C}=\frac{r^2-a^2}{b^2-a^2}I$ . Y para

, es decir, en el exterior de la corteza, es toda la intensidad

la que atraviesa C. Así

$\begin{displaymath} B=\left\{\begin{array}{ll} 0 & r<a\\ {\displaystyle \frac{\... ...splaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi r}} & r>b\\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

es el campo magnético para los tres casos. En todos ellos, el sentido de $\vec{B}$ es ``retorciéndose'' en circunferencias alrededor del cable.

3. Es la práctica de laboratorio de medir el campo magnético terrestre. El campo creado por N espiras de radio R en su centro es igual a

$\begin{displaymath} B_{\scriptscriptstyle \rm centro espiras}=N\int_{\theta=0}^... ...{\mu_0 I}{4\pi}\frac{R d\theta}{R^2}=\frac{\mu_0 N I}{2R} , \end{displaymath}$

y puesto que está orientado perpendicularmente al campo magnético terrestre entonces

$\begin{displaymath} \tan\theta=\frac{B_{\scriptscriptstyle \rm centro espira}}{B_{\scriptscriptstyle \rm terrestre}} , \end{displaymath}$

de donde se despeja

Bibliografía:

http://www.unirioja.es/dptos/dq/fa/emo/prob_emo/node5.html

http://intercentres.edu.gva.es/iesleonardodavinci/Fisica/Magnetismo/Ley_de_Ampere.pdf

7.5 Leyes de electromagnetismo.

LEY DE GAUSS

Esta ley establece que el flujo eléctrico neto, a través de cualquier superficie gaussiana (superficie cerrada), es igual a la carga neta dentro de la superficie dividida por:

∅=∮▒E.dA=q_m/∈_0

Donde = carga eléctrica cerrada por la superficie gaussiana.

La ley de Gauss se utiliza para determinar la intensidad de campo eléctrico debido a distribuciones de carga eléctrica con alto grado de simetría. Esta ley es una de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo.

LEY DE BIOT-SAVART

Los campos magnéticos son producidos con cargas en movimiento, esto es, por corriente eléctrica. Los físicos Biot y Savart dedujeron una relación matemática que permite conocer el campo magnético dB en un punto Pdebido a un elemento de corriente ds que conduce una intensidad de corriente l es:

o lo que es lo mismo:

Dónde: es la permeabilidad magnética del medio, en el SI para el vacío:

r es la distancia del punto al elemento de corriente.

LEY DE INDUCCION FARADAY-HENRY

Esta ley establece que la fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la variación con respecto al tiempo del flujo magnético a través del circuito, matemáticamente se expresa por:

El signo negativo indica que la fem inducida tiene tal dirección que se opone al cambio que la produce.

zLEY DE LENZ

La fem la corriente inducidas se oponen a la causa que las produce es decir, las corrientes inducidas producen campos magnéticos que tienden a anular los cambios de flujo que las inducen.

Problemas:

1. Entre dos cilindros conductores coaxiales de radios a y b (b = 2 a), se introducen dos capas de dieléctrico, que llenan el espacio entre conductores. El límite de separación entre los dos dieléctricos es la superficie cilíndrica de radio R y el mismo eje que los conductores. Las permitividades respectivas de los dieléctricos son ε1=4ε0yε2 . Entre los conductores se aplica la d.d.p. Vo.

a) Calcular el valor de ε2 para que el campo sobre la superficie del cilindro de radio a sea cuatro veces superior al campo en el dieléctrico en contacto con el cilindro de radio b.

b) Calcular la capacidad por unidad de longitud del sistema, con los valores de ε1yε2 dado y calculado en el apartado anterior.

2. Dentro de un condensador de placas plano paralelas y espesor d introducimos un dieléctrico de permitividad no uniforme en la dirección perpendicular a las placas, siendo ε=ε0(1+x/d).

Calcular la distribución de los vectores D, E y P cuando se aplica a las placas una diferencia de potencial V₀.

3. Demostrar que el problema de una esfera conductora en un campo eléctrico uniforme puede resolverse por el método de imágenes (sugerencia: un campo eléctrico uniforme en la vecindad del origen puede sustituirse aproximadamente por el campo eléctrico de dos cargas puntuales colocadas en el eje Z, tal como indica la figura adjunta. El campo debido a estas cargas se hace uniforme con L tendiendo a infinito).

Bibliografía:

http://fisicaelectromag.blogspot.com/2011/11/75-leyes-de-electromagnetismo.html

http://www.matematicasypoesia.com.es/ProbElgMag/ProbElMgPreg2.htm